지도 투영법 완전 정리: Mercator, Web Mercator 그리고 트레이드오프

지구는 둥글고 지도는 평평합니다. 지도학(cartography)의 문제는 모두 이 차이에서 시작하고, 지도 투영법은 그 문제에 대한 수학적 해법입니다. 세상의 모든 투영법은 의도된 타협입니다. 용도에 가장 덜 해로운 왜곡을 고르고, 나머지는 받아들이는 것입니다.

이 글에서는 지도 투영법이 무엇인지, 주요 계열에는 무엇이 있는지, 모든 웹 지도가 왜 Web Mercator를 쓰는지, 그리고 정확도가 정말 중요할 때 어떤 투영법을 골라야 하는지 설명합니다.

투영법이 필요한 이유

지구를 왜곡 없이 나타낼 수 있는 것은 지구본뿐입니다. 구를 2차원 평면에 펼치는 순간, 어딘가는 늘이거나 찢거나 눌러야 합니다. 가우스의 빼어난 정리(Theorema Egregium)라는 유명한 수학 결과가 있습니다. 이 정리는 거리를 왜곡하지 않고 구를 평면으로 펼 방법이 없다는 것을 증명합니다. 그래서 지도학자들은 "완벽한 투영법은 무엇인가"가 아니라 "어떤 왜곡을 감수할 수 있는가"를 묻습니다.

모든 투영법은 다음 네 가지 속성 사이에서 무언가를 포기합니다.

• 형태(정각성, conformality): 각도와 국소적인 형태가 유지됩니다
• 면적(정적성, equivalence): 지역이 실제 상대 크기대로 표시됩니다
• 거리(정거성, equidistance): 한두 기준점으로부터의 거리가 정확합니다
• 방향(방위성, azimuthality): 한 점으로부터의 방향이 정확합니다

네 가지를 모두 유지하는 투영법은 없습니다. 대부분은 하나를 유지하고, 나머지는 통제된 방식으로 왜곡합니다.

메르카토르 도법

헤라르뒤스 메르카토르는 1569년에 자신의 투영법을 발표했습니다. 적도에 접하는 원통으로 지구를 감싼 뒤 펼치는 원통 도법입니다. 핵심 속성은 정각성입니다. 지도의 어느 지점에서든 각도가 유지되므로, 나침반 방위를 일정하게 유지하는 항로(항정선, rhumb line)가 지도에서 직선으로 그려집니다. 이 성질 덕분에 메르카토르 도법은 항해에 꼭 맞았습니다. 선장은 직선을 긋고, 방위를 읽고, 그 방위대로 배를 몰면 됐습니다.

대가는 극심한 면적 왜곡입니다. 적도에서 멀어질수록 지형이 더 크게 늘어납니다. 그린란드는 아프리카만큼 커 보이지만, 실제로는 아프리카가 14배 큽니다. 남극은 지도 아래쪽 가장자리를 따라 거대한 덩어리로 펼쳐집니다. 러시아와 캐나다는 적도 부근 나라들에 비해 엄청나게 커 보입니다.

그래서 메르카토르 도법은 교육과 언론 분야에서 비판을 받습니다. 나라의 실제 크기에 대한 사람들의 인식을 비틀기 때문입니다. 갈페터스(Gall-Peters) 도법과 이퀄 어스(Equal Earth) 도법 같은 대안은 일반 독자용 세계지도에서 이 문제를 바로잡으려고 만든 것입니다.

Web Mercator가 표준이 된 이유

2005년 Google은 메르카토르 도법을 조금 고친 투영법으로 Google Maps를 출시했습니다. 지금은 이 투영법을 Web Mercator(EPSG:3857)라고 부릅니다. 고전적인 메르카토르 도법과 실질적으로 다른 점은 하나입니다. 지구를 더 정확한 타원체(WGS84)가 아니라 완전한 구로 취급합니다. 덕분에 계산이 빨라지고, 타일 서버가 세계를 정사각형 타일의 깔끔한 피라미드로 자를 수 있습니다.

Web Mercator가 웹을 장악한 이유는 운영상의 한 가지입니다. 모든 웹 지도가 같은 전 세계 타일 그리드를 공유할 수 있습니다. 줌 레벨 0은 전 세계를 덮는 타일 한 장입니다. 줌 레벨 1은 네 장, 줌 레벨 n은 4^n장입니다. 지도 이동과 확대는 작은 이미지 타일이나 벡터 타일을 다른 묶음으로 가져오는 일로 단순해집니다. Google Maps, Apple Maps, OpenStreetMap, MapAtlas를 비롯해 지금까지 나온 거의 모든 임베디드 웹 지도의 끌어서 움직이는 지도(slippy map) 경험이 이 전제 위에 서 있습니다.

한 단락으로 보는 수식

라디안 단위의 경도 lng와 위도 lat에 대해 Web Mercator는 다음과 같이 계산합니다.

• x = R * lng
• y = R * ln(tan(pi/4 + lat/2))

여기서 R은 6,378,137m로, WGS84의 적도 반지름을 구에 적용한 값입니다. 줌 레벨 0에서는 전 세계가 256×256픽셀 타일 한 장에 들어가고, 줌 레벨이 하나 오를 때마다 가로와 세로 해상도가 두 배가 됩니다.

면적이 극으로 갈수록 늘어나는 이유는 ln(tan(...)) 항에 있습니다. 위도선 사이의 간격이 위도와 함께 커지고, 국소 축척 계수는 1/cos(lat)입니다. 헬싱키나 오슬로와 비슷한 북위 60도에서는 거리가 적도보다 약 두 배 길게, 면적은 약 네 배 크게 그려집니다. 같은 식이 극에서는 무한대로 발산합니다. 그래서 이 투영법은 약 85.05도에서 멈추고, 모든 웹 지도의 세계 화면에서 극지방이 잘려 있습니다.

Web Mercator의 단점은 분명히 있지만, 대부분의 제품 용도에서는 받아들일 만합니다.

• 메르카토르 도법과 같은 면적 왜곡(그린란드는 여전히 거대해 보입니다)
• 위도 약 85.05도 너머의 극지방이 잘림(극에서 수식이 무한대로 발산하기 때문입니다)
• 실제 타원체 모델과 비교한 약간의 오차

내비게이션 지도, 부동산 지도, 배송 권역 지도라면 이 중 어느 것도 문제가 되지 않습니다. 하지만 극지방을 분석하거나, 단계 구분도로 나라의 면적을 비교하거나, 면적이 중요한 작업이라면 Web Mercator는 맞지 않는 도구입니다.

그 밖의 주요 투영법 계열

정적 도법(등면적 투영법)

정적 도법은 지역의 상대적인 크기를 유지하고, 대신 형태가 왜곡됩니다. 독자가 면적을 비교하게 되는 주제도(인구 밀도, 토지 이용, 나라별 선거 결과)에는 정적 도법을 쓰는 것이 맞습니다.

대표적인 정적 도법은 다음과 같습니다.

• 몰바이데(Mollweide) 도법: 타원형 세계지도로, 전 세계 주제도에 적합합니다
• 이퀄 어스(Equal Earth) 도법: 면적을 유지하면서도 자연스러워 보이도록 2018년에 설계한 투영법입니다
• 앨버스(Albers) 정적 원추 도법: 미국 본토처럼 중위도에 있는 지역의 표준입니다
• 갈페터스(Gall-Peters) 도법: 교육 현장에서 대놓고 메르카토르 도법의 대안을 내세워 유명해졌습니다

정각 도법

정각 도법은 각도와 국소적인 형태를 유지합니다. 메르카토르 도법이 가장 유명하지만, 특정 지역에 맞춘 정각 도법도 많습니다.

• 람베르트 정각 원추(Lambert Conformal Conic) 도법: 항공도와 미국 주 평면 좌표계(State Plane)의 표준입니다
• 평사(Stereographic) 도법: 원을 원으로 유지하며, 극지방과 좁은 지역의 지도에 쓰입니다

정거 도법

정거 도법은 특정 선을 따라 거리를 유지합니다. 정거 방위(Azimuthal Equidistant) 도법은 한 점을 중심으로 잡으면, 그 점에서 다른 모든 곳까지의 거리와 방향을 정확히 보여 줍니다. 국제연합(UN) 깃발에 쓰인 투영법이며, 북극을 중심으로 합니다.

절충 도법

절충 도법은 어느 한 속성도 정확히 유지하지 않지만, 왜곡을 고르게 나눠 자연스럽게 보이게 합니다. 일반 참고용 지도에 많이 쓰입니다.

• 로빈슨(Robinson) 도법: 1963년에 나왔고, 1988년부터 1998년까지 National Geographic 세계지도에 쓰인 투영법입니다
• 빈켈 트리펠(Winkel Tripel) 도법: 1998년 National Geographic이 세계지도용으로 채택했습니다
• 내추럴 어스(Natural Earth) 도법: 톰 패터슨(Tom Patterson)이 2008년에 만든 절충 도법으로, 자연 지리 데이터를 담은 세계지도용으로 설계했습니다

투영법 고르기

먼저 무엇을 보여 주려는지부터 정하세요.

• 제품용 또는 내비게이션용 웹 지도: 고민할 것 없이 Web Mercator
• 세계 주제도(인구, 기후, 선거): 이퀄 어스 또는 몰바이데
• 한 나라나 한 대륙의 주제도: 그 지역의 위도와 모양에 맞춘 정적 도법(미국은 앨버스, 유럽은 람베르트 정적 방위 도법 등)
• 극지방: 평사 도법 또는 정거 방위 도법
• 항해도와 항공도: 메르카토르 또는 람베르트 정각 원추 도법
• 범용 세계 참고지도: 빈켈 트리펠 또는 로빈슨

간단한 기준이 하나 있습니다. 면적이 중요한 분석이라면 정적 도법을 쓰세요. 웹 페이지에 인터랙티브 지도를 넣는다면 Web Mercator를 쓰고 더 고민하지 않아도 됩니다.

좌표계와 EPSG 코드

모든 투영법에는 EPSG 코드가 붙습니다. 실무에서 가장 자주 보는 코드는 다음과 같습니다.

• EPSG:4326: WGS84 위도와 경도입니다. GPS와 대부분의 데이터 교환에서 기본값입니다(엄밀히는 투영법이 아니라 타원체 위의 위도와 경도입니다)
• EPSG:3857: Web Mercator입니다. 사실상 모든 웹 지도가 사용합니다
• EPSG:3035: ETRS89 / LAEA Europe입니다. 유럽 주제도용 정적 도법입니다
• EPSG:5070: NAD83 / Conus Albers입니다. 미국 본토용 정적 도법입니다

EPSG:4326(위도와 경도)으로 받은 데이터를 웹 지도에 표시하면, 타일 서버가 그때그때 EPSG:3857로 재투영합니다. 면적을 계산해야 한다면 먼저 해당 지역의 정적 도법으로 재투영하세요.

실무에서는 렌더링 단계를 제외한 모든 곳에서 4326을 기준 데이터로 두세요. PostGIS 컬럼은 geometry(Point, 4326), JSON 페이로드는 WGS84 기준 [lng, lat], 지도 라이브러리 입력도 4326으로 두고 투영은 렌더러가 내부에서 처리하게 합니다. 데이터를 3857로 저장하는 것은 거의 언제나 실수입니다. 거리를 계산하거나, 데이터를 다른 제공업체에 보내거나, GIS 도구로 처리하는 순간 다시 변환해야 하고, 변환을 오갈 때마다 정밀도가 떨어집니다.

MapAtlas에서 투영법 다루기

MapAtlas Maps API는 다른 웹 지도 제공업체와 마찬가지로 Web Mercator(EPSG:3857)로 벡터 타일과 래스터 타일을 제공합니다. 기본 스타일을 불러온 뒤 EPSG:4326 좌표의 GeoJSON 레이어를 추가하면, 화면 표시용 재투영은 렌더러가 처리합니다. 좌표 작업에는 좌표 조회 도구를 쓰세요. 표준 WGS84 위도와 경도(EPSG:4326)를 반환합니다.

정적 도법이 필요한 분석(정확한 면적 계산, 정확한 중심점, km²당 밀도)이라면 데이터가 지도에 올라가기 전에 데이터 파이프라인에서 재투영을 마치세요. PostGIS, GDAL, Turf.js 같은 도구가 EPSG 코드 사이의 변환을 처리합니다.

지도 투영법은 현실의 속성이 아니라 생각을 돕는 도구입니다. 답하려는 질문에 맞는 투영법을 고르고, 그 대가로 포기해야 하는 것을 받아들이세요.